Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.
- «Пролегомены» к текстам Васильева В.
- 08.01.2022 Кому непонятны статьи автора и почему? Васильева В.
- 01.12.2021 Теорема Гёделя о неполноте. Аксиома выбора и парадоксы наивной теории множеств: фрагмент. Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация: фрагмент
- 03.11.2021 «Хочу, чтоб меня правильно поняли»… и «наверху» тоже. Васильева В.
- 11.01.2009 РЕАЛЬНОСТЬ и ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ.
- Все страницы
«Кто сражается с чудовищами, тому следует остерегаться, чтобы самому при этом не стать чудовищем.
И если ты долго смотришь в бездну, то бездна тоже смотрит в тебя»
Ф. Ницше
Теорема Гёделя о неполноте
В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.
Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.
И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:
«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».
Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.
Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.
Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».
Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.
Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?
Kurt Gödel, 1906–78
https://elementy.ru/trefil/21142/Teorema_Gyodelya_o_nepolnote
Аксиома выбора и парадоксы наивной теории множеств
Фрагмент
"В 1904 году Э.Цермело доказал теорему о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Доказательство опиралось на безобидную мысль, что в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. Она получила название аксиомы выбора (или аксиомы Цермело) и вошла в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело и Френкелем в 1908 году.
Таким образом, Цермело и Френкель поставили наивную теорию множеств на аксиоматическую основу. Необходимость введения аксиоматики была связана с противоречиями теории множеств, придуманных специально с целью обнаружить в ней противоречия...
Отсюда первый способ борьбы с парадоксами – способ Кантора, в котором запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам.
(Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов — одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики. Владимир)
(Институт цензуры по сей день не введен. Админ )
Второй способ – аксиоматический (система аксиом Цермело–Френкеля, система аксиом Геделя–Бернайса).
Оказалось, что с помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали, неизмеримое по Лебегу, или парадокс Банах-Тарского: можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар (трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям).. То есть следствия из аксиомы выбора совершенно противоречат нашей интуиции пространства. Но аксиома Цермело применяется в доказательстве многих теорем как теории множеств, так и анализа..."
https://megaobuchalka.ru/3/24848.html
В определённых моментах парадокс Банах-Тарского используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, — несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций. Владимир. (см. далее Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация)
В. Ваильев (и кто угодно), опираясь на систему заявленных аксиом и определений, неминуемо будет генерировать противоречивые высказывания. Даже в случае строгих логических умозаключений его тезисы/выводы иногда будут вопиющим образом противоречить феноменам действительности. Админ
Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация
Фрагмент
По образованию я физик-теоретик, однако имею неплохую математическую базу. В магистратуре одним из предметов была философия, необходимо было выбрать тему и сдать по ней работу. Поскольку большинство вариантов не единожды было обмусолено, то решил выбрать что-то более экзотическое. На новизну не претендую, просто получилось аккумулировать всю/почти всю доступную литературу по этой теме. Философы и математики могут кидаться в меня камнями, буду лишь благодарен за конструктивную критику.
Как сама теория множеств, так и парадоксы, ей присущие, появились не так уж и давно, чуть более ста лет назад. Однако за этот период был пройден большой путь, теория множеств так или иначе фактически стала основой большинства разделов математики. Парадоксы же её, связанные с бесконечностью Кантора, были успешно объяснены буквально за половину столетия.
Следует начать с определения.
Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое определённых хорошо различимых предметов
нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества
)[1]. Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.
Парадоксы (логики и теории множеств) — (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов — одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.
Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции — бесконечности. Задача — рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.,,,
Создание теории множеств породило то, что считают третьим кризисом математики, который до сих пор не был разрешён удовлетворительно для всех
...
Диалектико-материалистический анализ показывает, что парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.
Закончен ли третий кризис математики (потому как он находился в причинно-следственной связи с парадоксами; теперь же парадоксы — неотъемлемая часть) — тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например), отсутствие строгого обснования у континуального интеграла).
Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а так же целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г. Фреге). Но, возможно, одним из самых недооценённых явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963 году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения
27.05.2021 Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно?
|
|
[Veritasium]
Возможно, в публичной сфере есть и другие марксисты (сильнее, понятнее и т.д.,) но мы пока на них не натолкнулись. Админ.
_______________________________
Из серии "Лики неведомых существ в зеркальном отражении на картинах художника Леонардо Да Винчи"
Зеркальный код Леонардо да Винчи. Иоанн Креститель.
Во главе группы добровольцев Конти сделал несколько открытий, сделавших "переворот" в исследованиях художественного наследия Леонардо. Во-первых, исследователь доказал, что все образы картин Винчи взором обращены не в пустоту, а смотрят в определенные точки. А если приложить к ним зеркала, то образуются совершенно новые странные фигуры. Так Конти нашел целый ряд демонов на картине «Святая Анна с Мадонной и младенцем Иисусом», «Иоанн Креститель» и на самой «Монне Лизе»... https://kulturologia.ru/blogs/040318/37875/
Группы и теория гомотопий
(трэш трейлер)
|
|
- Для обывателей наука неразрывно связана с открытиями. Что в твоем понимании открытие? И здорова ли ситуация, в которой науку мыслят через открытия?
- Не очень. Но нас кормят за открытия, и мы обязаны их продавать, мы участвуем в рыночном, капиталистическом процессе. Продать открытие — это опубликовать его в понтовом журнале, потому что все гранты, которые мы будем получать, — а мы живем на гранты, а не на зарплату, — связаны исключительно с рангами журналов, в которых мы публикуемся. Если, конечно, мы не состоим в научной мафии, деньги которой могут выделять и без публикаций. А открытие для меня — это нерегулярный всплеск психического, который был качественно невозможен до этого момента.
- Это близко к чуду?
(Долгая пауза.) Да. Это случается непредсказуемо, но иногда интуиция подсказывает, что это должно произойти.
- Как интегрируются твои увлечения — брейк-данс, шахматы, жонглирование, карточные трюки, театр, Индия, мистицизм? Или это разные ящики, из которых ты в нужный момент что-нибудь достаешь?
- Мне кажется, никак не интегрируются. Я всегда считал, что они дополняют друг друга и позволяют существовать уникальному субъекту, но сейчас мне кажется, что это создает помехи, потому что существует на уровне шизофреничности, разрывающей сущность на множество разных кусков. С другой стороны, эти тонкие и странные умения могут в определенный момент помочь...
Михайлова любит аудитория глубинного интернета — из его редких выступлений монтируются любительские трэш-ролики, его образ попадает в низовые онлайн-игры, а фрагменты речей, бывает, становятся песнями...